Patuloy na interes ng tambalan

Ang compound interest ay ang interest na kinakalkula sa paunang punong-guro at din sa natipon na interes ng mga nakaraang panahon ng isang deposito o pautang. Ang epekto ng tambalang interes ay nakasalalay sa dalas.

Ipagpalagay ang isang taunang rate ng interes ng 12%. Kung sisimulan natin ang taon na may $ 100 at tambalan isang beses lamang, sa pagtatapos ng taon, ang punong-guro ay lumalaki sa $ 112 ($ 100 x 1.12 = $ 112). Kung sa halip ay tambalan namin bawat buwan sa 1%, nagtatapos kami ng higit sa $ 112 sa pagtatapos ng taon. Iyon ay, $ 100 x 1.01 ^ 12 sa $ 112.68. (Mas mataas ito dahil mas madalas kaming pinagsama.)

Patuloy na pinagsama ang tambalang nagbabalik ng madalas sa lahat. Ang patuloy na compounding ay ang limitasyong matematiko na maabot ng compound interest. Ito ay isang matinding kaso ng pagsasama dahil ang karamihan sa interes ay pinagsama sa buwanang, quarterly o semiannual na batayan.

Semiannual na Mga rate ng Pagbabalik

Una, tingnan natin ang isang potensyal na nakalilito na kombensiyon. Sa merkado ng bono, tinutukoy namin ang isang ani na katumbas ng bono (o batayan na katumbas ng bono). Nangangahulugan ito na kung ang isang bono ay nagbubunga ng 6% sa isang semiannual na batayan, ang ani na katumbas ng bono ay 12%.

Larawan ni Julie Bang © Investopedia 2019

Ang semiannual ani ay doble lamang. Ito ay potensyal na nakalilito dahil ang mabisang ani ng isang 12% na may katumbas na bond bond ay 12.36% (ibig sabihin, 1.06 ^ 2 = 1.1236). Ang pagdududa sa ani ng semiannual ay isang kombensyong pangngalan sa bono. Samakatuwid, kung basahin namin ang tungkol sa isang 8% na bono na pinagsama nang semiannually, ipinapalagay namin na tumutukoy ito sa isang 4% na semiannual ani.

Quarterly, Buwanang at Pang-araw-araw na Mga rate ng Pagbabalik

Ngayon, pag-usapan natin ang mas mataas na mga dalas. Inaasahan pa rin namin ang isang 12% taunang rate ng interes sa merkado. Sa ilalim ng mga konstitusyon sa pagbibigay ng bono, na nagpapahiwatig ng isang 6% na semiannual compound rate. Maaari naming ipahayag ngayon ang quarterly compound rate bilang isang function ng rate ng interes sa merkado.

Larawan ni Julie Bang © Investopedia 2019

Ibinibigay ang isang taunang rate ng merkado ( r), ang quarterly compound rate ( r _q) ay ibinibigay ng:

$\begin{matrix} r_{q} = 4 \end{matrix} \ simulan {aligned} & r_q = 4 \ left \\ \ end {aligned}$ Rq = 4

Kaya, halimbawa, kung saan ang taunang rate ng merkado ay 12%, ang quarterly compound rate ay 11.825%:

$\begin{matrix} r_{q} = 4 ≅ 11.825 % \end{matrix} \ simulan {aligned} & r_q = 4 \ left \ cong 11.825 \% \\ \ end {aligned}$ Rq = 4≅11.825%

Larawan ni Julie Bang © Investopedia 2019

Ang isang katulad na lohika ay nalalapat sa buwanang pagsasama-sama. Ang buwanang rate ng compound ( r _m ) ay ibinibigay dito bilang pag-andar ng taunang rate ng interes sa merkado ( r):

Ang pang-araw-araw na rate ng tambalan ( d) bilang isang function ng rate ng interes sa merkado ( r) ay ibinibigay ng:

$\begin{matrix} r_{d} & = 360 \\ = 360 \\ ≅ 11.66 % \end{matrix} \ simulang {nakahanay} r_d & = 360 \ kaliwa \\ & = 360 \ kaliwa \\ & \ cong 11.66 \% \\ \ end {aligned}$ rd = 360 = 360≅11.66%

Paano Mga Patuloy na Compounding works

Larawan ni Julie Bang © Investopedia 2019

Kung nadaragdagan natin ang dalas ng compound sa limitasyon nito, patuloy tayong nagtitipon. Bagaman hindi ito praktikal, ang patuloy na pinagsama-samang rate ng interes ay nag-aalok ng kamangha-manghang maginhawang mga katangian. Ito ay lumiliko na ang patuloy na pinagsama na rate ng interes ay ibinibigay ng:

$\begin{matrix} r_{c o n t ako n u o u s} = \ln (1 + r) \end{matrix} \ simulang {nakahanay} & r_ {tuloy-tuloy na} = \ ln (1 + r) \ \ end {aligned}$ Rcontinuous = ln (1 + r)

Ang Ln () ay ang likas na log at sa aming halimbawa, ang patuloy na compounded rate ay samakatuwid:

$\begin{matrix} r_{c o n t ako n u o u s} = \ln (1 + 0.12) = \ln (1.12) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ simulang {nakahanay} & r_ {tuloy-tuloy na} = \ ln (1 + 0.12) = \ ln (1.12) cong 11.33 \% \\ \ end {aligned}$ Rcontinuous = ln (1 + 0.12) = ln (1.12) ≅11.33%

Nakarating kami sa parehong lugar sa pamamagitan ng pagkuha ng natural na log ng ratio na ito: ang pagtatapos ng halaga na nahahati sa simula ng halaga.

$\begin{matrix} r_{c o n t ako n u o u s} = \ln (\frac{{Halaga}_{Tapusin}}{{Halaga}_{Magsimula}}) = \ln (\frac{112}{100}) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ simulang {nakahanay} & r_ {tuloy-tuloy na = = ln \ kaliwa ( frac { text {Halaga} _ \ text {End}} { text {Halaga} _ \ text {Start}} kanan) = \ ln \ kaliwa ( frac {112} {100} kanan) cong 11.33 \% \\ \ end {aligned}$ Rcontinuous = ln (HalagaStart HalagaEnd) = ln (100112) ≅11.33%

Karaniwan ang huli kapag ang pag-compute ng patuloy na compounded return para sa isang stock. Halimbawa, kung ang stock ay tumalon mula sa $ 10 sa isang araw hanggang $ 11 sa susunod na araw, ang patuloy na pinagsama ng araw-araw na pagbabalik ay ibinibigay ng:

$\begin{matrix} r_{c o n t ako n u o u s} = \ln (\frac{{Halaga}_{Tapusin}}{{Halaga}_{Magsimula}}) = \ln (\frac{$ 11}{$ 10}) ≅ 9.53 % \end{matrix} \ simulang {nakahanay} & r_ {tuloy-tuloy na = = ln \ kaliwa ( frac { text {Halaga} _ \ text {End}} { text {Halaga} _ \ text {Start}} kanan) = \ ln \ kaliwa ( frac { $ 11} { $ 10} kanan) cong 9.53 \% \\ \ end {aligned}$ Rcontinuous = ln (HalagaStart HalagaEnd) = ln ($ 10 $ 11) ≅9.53%

Ano ang napakahusay tungkol sa patuloy na pinagsama ng rate (o pagbabalik) na ating ipakilala sa r _c ? Una, madaling masukat ito pasulong. Dahil sa isang punong-guro ng (P), ang aming pangwakas na kayamanan sa paglipas ng (n) taon ay ibinigay ng:

$\begin{matrix} w = P e^{r_{c} n} \end{matrix} \ simulan {nakahanay} & w = Pe ^ {r_c n} \ \ end {aligned}$ W = Perc n

Tandaan na e ang exponential function. Halimbawa, kung magsisimula tayo sa $ 100 at patuloy na tambalan sa 8% sa loob ng tatlong taon, ang pangwakas na kayamanan ay ibinigay ng:

$\begin{matrix} w = $ 100 e^{(0.08) (3)} = $ 127.12 \end{matrix} \ simulang {nakahanay} & w = \ $ 100e ^ {(0.08) (3)} = \ $ 127.12 \\ \ end {aligned}$ W = $ 100e (0.08) (3) = $ 127.12

Ang diskwento sa kasalukuyang halaga (PV) ay nag-uugnay lamang sa kabaligtaran , kaya't ang kasalukuyang halaga ng isang hinaharap na halaga (F) na pinagsama ay patuloy sa isang rate ng ( r _c) na ibinibigay ng:

$\begin{matrix} Ang PV ng F na natanggap sa (n) taon = \frac{F}{e^{r_{c} n}} = F e^{- r_{c} n} \end{matrix} \ simulang {nakahanay} & \ text {PV ng F na natanggap sa (n) taon} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ \ end {aligned}$ Ang PV ng F na natanggap sa (n) taon = erc nF = Fe − rc n

Halimbawa, kung tatanggap ka ng $ 100 sa tatlong taon sa ilalim ng isang 6% na tuloy-tuloy na rate, ang kasalukuyang halaga ay ibinibigay ng:

$\begin{matrix} PV = F e^{- r_{c} n} = ($ 100) e^{- (0.06) (3)} = $ 100 e^{- 0.18} ≅ $ 83.53 \end{matrix} \ simulang {nakahanay} & \ text {PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( $ 100) e ^ {- (0.06) (3)} = \ $ 100 e ^ {-0.18} cong \ $ 83.53 \\ \ end {nakahanay}$ PV = Fe − rc n = ($ 100) e− (0.06) (3) = $ 100e − 0.18≅ $ 83.53

Pag-scale sa Mahigit Maramihang Mga Panahon

Ang maginhawang pag-aari ng patuloy na compounded na pagbabalik ay ang mga kaliskis nito sa maraming mga panahon. Kung ang pagbabalik para sa unang panahon ay 4% at ang pagbabalik para sa ikalawang panahon ay 3%, kung gayon ang dalawang-panahong pagbabalik ay 7%. Isaalang-alang namin simulan ang taon na may $ 100, na lumalaki sa $ 120 sa pagtatapos ng unang taon, pagkatapos ay $ 150 sa pagtatapos ng ikalawang taon. Ang patuloy na pinagsama na pagbabalik ay, ayon sa pagkakabanggit, 18.23% at 22.31%.

$\begin{matrix} \ln (\frac{120}{100}) ≅ 18.23 % \end{matrix} \ simulang {nakahanay} & \ ln \ kaliwa ( frac {120} {100} kanan) cong 18.23 \% \\ \ end {aligned}$ Ln (100120) ≅18.23%

$\begin{matrix} \ln (\frac{150}{120}) ≅ 22.31 % \end{matrix} \ simulan {nakahanay} & \ ln \ kaliwa ( frac {150} {120} pakanan) cong 22.31 \% \\ \ end {aligned}$ Ln (120150) ≅22.31%

Kung idagdag lamang natin ang mga ito nang magkasama, nakakakuha tayo ng 40.55%. Ito ang dalawang-panahong pagbabalik:

$\begin{matrix} \ln (\frac{150}{100}) ≅ 40.55 % \end{matrix} \ simulang {nakahanay} & \ ln \ kaliwa ( frac {150} {100} kanan) cong 40.55 \% \\ \ end {aligned}$ Ln (100150) ≅40.55%

Teknikal na pagsasalita, ang patuloy na pagbabalik ay pare-pareho ang oras. Ang pagkakapare-pareho ng oras ay isang teknikal na kinakailangan para sa halaga sa peligro (VAR). Nangangahulugan ito na kung ang isang solong-panahong pagbabalik ay isang normal na ipinamamahagi ng random variable, nais namin na maraming beses na mga random variable na normal na ipinamamahagi din. Bukod dito, ang maramihang panahon na patuloy na pinagsama ng pagbabalik ay karaniwang ipinamamahagi (hindi katulad, sabihin, isang simpleng porsyento na pagbabalik).

Ang Bottom Line

Maaari nating baguhin ang taunang mga rate ng interes sa semiannual, quarterly, buwanang, o pang-araw-araw na mga rate ng interes (o mga rate ng pagbabalik). Ang pinaka madalas na compounding ay patuloy na pagsasama-sama, na nangangailangan sa amin na gumamit ng isang natural na log at isang exponential function, na karaniwang ginagamit sa pananalapi dahil sa kanais-nais na pag-aari - madali itong kaliskis sa maraming mga panahon at pare-pareho ang oras.

Talaan ng mga Nilalaman:

Semiannual na Mga rate ng Pagbabalik

Quarterly, Buwanang at Pang-araw-araw na Mga rate ng Pagbabalik

Paano Mga Patuloy na Compounding works

Pag-scale sa Mahigit Maramihang Mga Panahon

Ang Bottom Line

Pagpili ng editor